Hàm wigner là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa tổng quan

Hàm Wigner, hay chính xác hơn là hàm phân bố Wigner (Wigner quasi-probability distribution function), là một công cụ toán học quan trọng trong cơ học lượng tử. Nó cho phép biểu diễn trạng thái lượng tử trong không gian pha – tức là không gian gồm vị trí và động lượng – tương tự như cách cơ học cổ điển mô tả trạng thái của một hệ vật lý. Đây là một dạng hàm phân bố đặc biệt bởi vì mặc dù có nhiều tính chất tương tự xác suất cổ điển, nhưng hàm này có thể nhận giá trị âm.

Khác với các biểu diễn như hàm sóng hay ma trận mật độ, hàm Wigner cung cấp một cách trực quan hơn để hiểu các hiệu ứng lượng tử như giao thoa và rối. Nó là một đại diện của trạng thái lượng tử trên mặt phẳng tọa độ \((x, p)\), nơi \(x\) là vị trí và \(p\) là động lượng. Vì có thể biểu diễn bằng hàm thực trên không gian hai chiều, hàm Wigner giúp ta thấy rõ được các tính chất tương quan và phi cổ điển mà các biểu diễn thuần túy trên không gian Hilbert khó thể hiện rõ.

• Là hàm thực nhưng không bị giới hạn bởi điều kiện không âm.
• Có thể tích phân theo từng biến để thu về các phân bố xác suất thông thường.
• Thường dùng trong phân tích trạng thái ánh sáng, mô phỏng lượng tử và đo lường.

Lịch sử và phát triển

Ý tưởng đầu tiên về hàm Wigner được đề xuất bởi nhà vật lý lý thuyết người Mỹ gốc Hungary – Eugene Wigner – vào năm 1932. Trong bài báo kinh điển “On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium”, ông đưa ra cách xây dựng một hàm phân bố trên không gian pha để tính toán các giá trị trung bình lượng tử giống như trong cơ học thống kê cổ điển. Đây là một bước đột phá về mặt phương pháp, giúp kết nối cơ học lượng tử và thống kê cổ điển trong cùng một khung mô hình toán học.

Sau đó, vào năm 1945–1948, Jean-André Ville – một nhà toán học người Pháp – đã phát triển khái niệm tương tự cho phân tích tín hiệu, mà sau này được gọi là phân bố Wigner–Ville. Đồng thời, nhà vật lý J.E. Moyal năm 1949 đã xây dựng một cách nhìn đầy đủ và hệ thống hơn bằng cách sử dụng phép biến đổi Weyl và lý thuyết xác suất trên không gian pha để tạo nên cái gọi là Moyal bracket – một biến thể của dấu ngoặc Poisson mở rộng cho lượng tử. Những công trình này đã củng cố cơ sở toán học và mở rộng phạm vi ứng dụng của hàm Wigner vượt ra ngoài lĩnh vực vật lý thuần túy.

Biểu thức toán học

Biểu thức chuẩn của hàm Wigner cho một hệ một chiều với hàm sóng \(\psi(x)\) được định nghĩa bởi tích phân sau:

$W(x,p) = \frac{1}{\pi \hbar} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2i p y/\hbar}\,dy$

Trong biểu thức trên, \(x\) là vị trí, \(p\) là động lượng, \(y\) là biến tích phân, và \(\hbar\) là hằng số Planck rút gọn. Hàm Wigner là hàm thực, được tính từ tích của hàm sóng và liên hợp phức của nó, dịch chuyển theo hai phía đối xứng quanh \(x\), rồi lấy tích phân có trọng số bởi một pha phức.

Cách xây dựng này tương đương với việc thực hiện phép biến đổi Fourier ngược của ma trận mật độ trong không gian tương đối. Đối với các trạng thái trộn (mixed states), biểu thức trên được tổng quát hóa bằng cách sử dụng ma trận mật độ \(\rho(x,x')\) như sau:

$W(x,p) = \frac{1}{2\pi \hbar} \int_{-\infty}^\infty \rho(x+y, x-y) e^{-2ipy/\hbar} dy$

Việc biểu diễn trạng thái lượng tử dưới dạng Wigner function tạo điều kiện để áp dụng các kỹ thuật phân tích cổ điển, chẳng hạn như phương pháp Monte Carlo trên không gian pha hoặc tích phân quỹ đạo.

Các tính chất cơ bản

Hàm Wigner sở hữu một số tính chất quan trọng khiến nó khác biệt so với phân bố xác suất cổ điển. Trước tiên, dù là một hàm thực, nó không bị giới hạn bởi điều kiện không âm, tức là có thể mang giá trị âm tại một số điểm trong không gian pha. Đây là dấu hiệu rõ rệt của sự phi cổ điển trong trạng thái lượng tử, chẳng hạn như hiện tượng giao thoa hoặc rối lượng tử.

Thứ hai, khi tích phân hàm Wigner theo một biến, ta thu được các phân bố xác suất quen thuộc:

• \(\int W(x,p) \, dp = |\psi(x)|^2\): xác suất tìm thấy hạt tại vị trí \(x\)
• \(\int W(x,p) \, dx = |\phi(p)|^2\): xác suất tìm thấy hạt có động lượng \(p\)

Thứ ba, tổng tích phân trên toàn bộ không gian pha của hàm Wigner luôn bằng 1, giống như tính chất chuẩn hóa trong lý thuyết xác suất:

$\int \int W(x,p) \, dx \, dp = 1$

Một số tính chất khác:

• Tính đối xứng: Nếu \(\psi(x)\) là hàm thực, \(W(x,p)\) sẽ đối xứng theo trục \(p\)
• Tiến hóa theo phương trình Moyal – là dạng lượng tử hóa của phương trình Liouville
• Biến đổi phù hợp với các phép dịch, quay và biến đổi Galileo trong không gian pha

Những tính chất này làm cho hàm Wigner trở thành công cụ linh hoạt trong mô phỏng và phân tích các hệ lượng tử phức tạp.

Giá trị “quasi‑probability” và giao thoa lượng tử

Điểm khác biệt cốt lõi giữa hàm Wigner và các hàm phân bố xác suất cổ điển là khả năng nhận giá trị âm. Những giá trị âm này không có nghĩa là xác suất âm theo nghĩa cổ điển, mà phản ánh tính chất lượng tử thuần túy như giao thoa và rối lượng tử. Chính vì vậy, hàm Wigner còn được gọi là hàm “quasi-probability” – tức gần giống phân bố xác suất, nhưng không thỏa mãn đầy đủ các tiên đề xác suất Kolmogorov.

Trong các trạng thái thuần túy mang tính cổ điển – ví dụ như các trạng thái coherent (trạng thái giống nhất với trạng thái cổ điển của dao động điều hòa) – hàm Wigner luôn không âm và có dạng phân bố Gaussian. Tuy nhiên, với các trạng thái như trạng thái Fock (số lượng tử xác định), trạng thái rối, hoặc trạng thái Schrödinger-cat (chồng chập các trạng thái coherent), hàm Wigner sẽ xuất hiện các vùng có giá trị âm hoặc dao động mạnh. Đây là dấu hiệu của các hiệu ứng lượng tử không thể tái hiện bằng bất kỳ mô hình xác suất cổ điển nào.

• Trạng thái Gaussian ⇒ W(x,p) ≥ 0 (ví dụ: trạng thái coherent, vacuum)
• Trạng thái Fock |n⟩ ⇒ W(x,p) có vùng âm khi n ≥ 1
• Trạng thái Schrödinger-cat ⇒ W(x,p) có vân giao thoa với giá trị âm

Theo định lý Hudson, chỉ có các trạng thái thuần túy Gaussian mới có hàm Wigner dương khắp nơi. Điều này biến tính không dương của Wigner function thành một chỉ báo mạnh mẽ cho “tính lượng tử” của trạng thái – đây là tiêu chí quan trọng trong phân biệt giữa trạng thái lượng tử và trạng thái gần cổ điển.

Ứng dụng trong cơ học lượng tử

Hàm Wigner là một công cụ trung tâm trong cơ học lượng tử pha-space. Nó cho phép biểu diễn các giá trị trung bình lượng tử theo cách tương tự như kỳ vọng thống kê cổ điển. Nếu  là một operator trong không gian Hilbert, thì giá trị trung bình của  có thể được tính thông qua tích phân của sản phẩm hàm Wigner và hàm Weyl biểu diễn cho  trong không gian pha:

$\langle \hat{A} \rangle = \iint W(x,p) \, A_W(x,p) \, dx \, dp$

Với AW(x,p) là phép biến đổi Weyl (hoặc Weyl symbol) của operator Â. Điều này giúp chuyển đổi các bài toán lượng tử thành các biểu thức tích phân quen thuộc với người làm thống kê, điều khiển học, và cơ học cổ điển.

Hàm Wigner cũng giúp ta tiếp cận giới hạn cổ điển của các hệ lượng tử. Khi hằng số Planck \(\hbar \to 0\), hàm Wigner tiến gần về phân bố Liouville trong cơ học thống kê. Do đó, nó là công cụ lý tưởng để nghiên cứu “cầu nối lượng tử-cổ điển” (quantum-classical transition). Các hiệu ứng như decoherence (mất tính lượng tử) cũng có thể được mô tả bằng cách theo dõi sự suy giảm của vùng âm trong W(x,p) theo thời gian.

Trong các hệ cơ học lượng tử nhiều bậc tự do hoặc nhiều hạt, hàm Wigner vẫn có thể xây dựng bằng cách mở rộng không gian pha thành nhiều chiều. Khi đó, biểu diễn trạng thái trở thành hàm của \((x_1,p_1,x_2,p_2,...)\) và tiếp tục giữ được các tính chất toán học đã đề cập.

Ứng dụng trong quang học lượng tử và lượng tử thông tin

Trong quang học lượng tử, hàm Wigner là công cụ chính để mô tả trạng thái của ánh sáng – đặc biệt là ánh sáng có tính chất phi cổ điển. Nhờ có thể tái tạo từ thí nghiệm bằng phương pháp homodyne detection, W(x,p) cho ánh sáng cung cấp một bản đồ trực quan các trạng thái quantum optics như:

• Vacuum state – điểm chuẩn hóa ở gốc không gian pha, W là Gaussian
• Coherent state – dịch chuyển điểm cực đại, vẫn là Gaussian
• Squeezed state – hình ellip, phản ánh sự nén (giảm độ bất định) ở một hướng
• Fock state – dạng vòng đồng tâm với vùng âm
• Schrödinger-cat – có hai đỉnh cùng vân giao thoa ở giữa

Hàm Wigner còn được dùng để xác định “non-classicality” – tức trạng thái có tính lượng tử mạnh, thường không thể tái hiện bằng mô hình cổ điển nào. Các tiêu chí như sự hiện diện của vùng âm, entropy lượng tử, hoặc negativities của hàm Wigner là các công cụ chẩn đoán trạng thái ánh sáng.

Trong lượng tử thông tin, các giao thức như teleportation, mã hóa lượng tử, hoặc mô phỏng lượng tử cũng thường dùng biểu diễn Wigner để đơn giản hóa mô hình. Một số giao thức thậm chí có thể mô phỏng bằng máy tính cổ điển nếu toàn bộ hàm Wigner trong quá trình là không âm – như đã được chứng minh bởi Mari và Eisert trong bài báo trên arXiv:1208.3660.

Ứng dụng trong phân tích tín hiệu (time‑frequency)

Ngoài vật lý, hàm Wigner còn có một phiên bản ứng dụng rộng trong xử lý tín hiệu – đặc biệt là phân tích time–frequency. Phiên bản này, gọi là Wigner–Ville distribution (WVD), dùng để biểu diễn phổ năng lượng của tín hiệu theo cả trục thời gian và tần số, thay vì chỉ một trong hai.

Đặc điểm mạnh của WVD là khả năng phân giải cao cả về thời gian và tần số, cao hơn hẳn các phương pháp như biến đổi Fourier hay wavelet. Tuy nhiên, nhược điểm là hiện tượng giao thoa chéo (cross-terms) – biểu hiện các thành phần nhiễu không có thật sinh ra do tính phi tuyến của phương pháp.

Để khắc phục nhược điểm này, người ta phát triển các biến thể thuộc họ phân phối Cohen (Cohen class), ví dụ:

• Choi–Williams distribution – giảm giao thoa bằng nhân Gaussian
• Smoothed pseudo WVD – làm mượt bằng nhân cửa sổ
• Margenau–Hill distribution – xấp xỉ hàm Wigner bằng biểu thức đơn giản

Trong kỹ thuật radar, sonar, sinh học tín hiệu, và phân tích nhạc số, các dạng biến thể này vẫn là công cụ chuẩn mực để biểu diễn tín hiệu có tính chất phi tuyến hoặc biến thiên theo thời gian.

Phát triển hiện đại và mở rộng

Ngày nay, nghiên cứu về hàm Wigner mở rộng sang các hệ lượng tử rời rạc (như qubit, spin-1/2), hệ nhiều hạt và vật lý thống kê. Hàm Wigner cũng có thể định nghĩa trên không gian trạng thái rời rạc thông qua các phương pháp như Stratonovich–Weyl correspondence. Với các hệ như spin hoặc không gian Hilbert hữu hạn chiều, hàm Wigner không còn là hàm trên \(\mathbb{R}^2\) mà trở thành một lưới hữu hạn với cấu trúc đặc biệt.

Các hướng phát triển hiện đại gồm:

• Wigner function trên mặt cầu (cho spin)
• Wigner matrix – biểu diễn cho hệ nhiều qubit
• Generalized Wigner distribution – mở rộng cho các đại số Lie hoặc hệ siêu đối xứng

Một số ứng dụng gần đây sử dụng Wigner function trong mô phỏng trạng thái lượng tử đa photon, biểu diễn trạng thái nhiệt, nghiên cứu entropy, mô hình hóa decoherence, và trong các thuật toán quantum computing hiệu quả. Ngoài ra, các nghiên cứu trên arXiv:1601.07772 cũng cho thấy hàm Wigner có thể tái tạo toàn bộ thông tin lượng tử cho bất kỳ hệ lượng tử nào nếu chọn đúng cơ sở pha-space.

Tóm tắt ngắn gọn

Hàm Wigner là công cụ mạnh để biểu diễn và phân tích trạng thái lượng tử trong không gian pha. Dù không phải xác suất thực, nó cung cấp cái nhìn trực quan vào giao thoa lượng tử, tính cổ điển, và liên kết giữa mô tả wave function và phase space. Ứng dụng rộng trong cơ học lượng tử, quang học lượng tử, mô phỏng lượng tử, và phân tích tín hiệu.